Suites géométriques de matrices colonnes

Définition  

Soit  \(A\)  une matrice carrée de dimension  \(k\)  (c'est-à-dire une matrice à  \(k\)  lignes et  \(k\)  colonnes) et  \(U_0\)  une matrice colonne (ou vecteur) de dimension  \(k\) .

La formule de récurrence  \(U_{n+1}=AU_n\)  permet de définir une suite géométrique de matrices colonnes, de raison \(A\) .

Propriété  

Pour une telle suite, on a, pour tout  \(n∈N, U_n=A^nU_0\) .

Démonstration

La démonstration se fait par récurrence.

Initialisation
Par convention,  \(A^0=I_k\) , donc on a bien  \(U_0=A^0U_0\) .

Hérédité
Soit un entier naturel  \(n\)  tel que  \(U_n=A^nU_0\) . On montre que   \(U_{n+1}=A^{n+1}U_0\) .
On calcule  \(U_{n+1}\)  :  \(U_{n+1}=AU_n\)  d'après la définition de la suite.
Donc, en appliquant l'hypothèse de récurrence,  \(U_{n+1}=AA^nU_0\) .
D'où  \(U_{n+1}=A^{n+1}U_0\) .

Conclusion
La propriété est initialisée pour  \(n=0\)  et héréditaire à partir du rang  \(0\) , donc on a bien, pour tout entier naturel  \(n, U_n=A^nU_0\) .